No Image

Гипотезу пуанкаре что это

СОДЕРЖАНИЕ
3 просмотров
30 ноября -0001

Гипотезу пуанкаре что это

Теорема Пуанкаре простыми словами

Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) возглавлял Парижскую академию наук и был избран в научные академии 30 стран мира. Он имел масштаб Леонардо: его интересы охватывали физику, механику, астрономию, философию. Математики же всего мира до сих пор говорят, что только два человека в истории по-настоящему знали эту науку: немец Давид Гилберт (1862-1943) и Пуанкаре.

В 1904 году учёный опубликовал работу, содержавшую среди прочего предположение, получившее название теорема Пуанкаре. Поиск доказательства истинности этого утверждения занял около века.

Основатель топологии

Математический гений Пуанкаре впечатляет количеством разделов науки, где им были разработаны теоретические основы различных процессов и явлений. Во времена, когда ученые совершали прорывы в новые миры космоса и в глубины атома, было не обойтись без единой основы общей теории мироздания. Такой базой стали ранее неизвестные отрасли математики.

Пуанкаре искал новый взгляд на небесную механику, он создал качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию автоморфных функций. Исследования ученого стали основой специальной теории относительности Эйнштейна. Теорема Пуанкаре о возвращении говорила среди прочего о том, что понять свойства глобальных объектов или явлений можно исследуя составляющие их частицы и элементы. Это дало мощный толчок научным поискам в физике, химии, астрономии и т.д.

Геометрия – отрасль математики, где Пуанкаре стал признанным новатором и лидером мирового масштаба. Теория Лобачевского, открыв новые измерения и пространства, еще нуждалась в ясной и логичной модели, и Пуанкаре придал идеям великого русского ученого прикладной характер.

Развитием неэвклидовой геометрии стало возникновение топологии – отрасли математики, которую называли геометрией размещения. Она изучает пространственные взаимоотношения точек, линий, плоскостей, тел и т.д. без учета их метрических свойств. Теорема Пуанкаре, ставшая символом самых трудноразрешимых задач в науке, возникла именно в недрах топологии.

Одна из семи задач тысячелетия

В самом начале XXI века одно из подразделений американского университета в Кембридже – математический институт, основанный на средства бизнесмена Лэндона Т. Клэя – опубликовал список Millennium Prize Problems (проблем тысячелетия). Он содержал семь пунктов из классических научных задач, за решение каждой из которых учреждалась премия в миллион долларов:

• Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности).
• Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами).
• Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).
• Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).
• Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).
• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).
• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).

Каждая эта проблема имела очень долгую историю, поиски их решения приводили к возникновению целых новых научных направлений, но единственно правильные ответы на поставленные вопросы не находились. Понимающие люди говорили, что деньги фонда Клэя в безопасности, но так было лишь до 2002 года – появился тот, кто доказал теорему Пуанкаре. Правда, деньги он не взял.

Классическая формулировка

Гипотеза, для которой найдено подтверждение, становится теоремой, имеющей корректное доказательство. Именно это произошло с высказанным Пуанкаре предположением о свойствах трехмерных сфер. В более общем виде этот постулат говорил о гомеоморфности всякого многообразия размерности n и сферы размерности n как необходимом условии их гомотопической эквивалентности. Знаменитая теперь теорема Пуанкаре относится к варианту, когда n=3. Именно в трехмерном пространстве математиков ждали затруднения, для других случаев доказательства были найдены быстрее.

Чтобы хоть немного постичь смысл теоремы Пуанкаре, не обойтись без знакомства с основными понятиями топологии.

Гомеоморфизм

Топология, говоря о гомеоморфизме, определяет его как взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры, в некотором смысле неотличимость. Неподготовленному сложно даётся теорема Пуанкаре. Для чайников можно привести самый популярный пример гомеоморфных фигур – шар и куб, также гомеоморфны бублик и кружка, но не кружка и куб. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать.

Читайте также:  Нанесение герметика гбц ваз 2112

Если куб раздуть, он легко может стать шаром, если шар примять встречными движениями, можно получить кубик. Наличие дырки у бублика и дырки, образованной ручкой у кружки, делает их гомеоморфными, та же дырка делает невозможным превращение кружки в шар или куб.

Связность

Дырка – важное понятие, определяющее свойства объекта, но категория совершенно не математическая. Было введено понятие связности. Его содержат многие топологические постулаты, в том числе и теорема Пуанкаре. Простыми словами можно говорить так: если поверхность шара обернуть петлей из резиновой ленты, она, сжимаясь, соскользнёт. Этого не произойдет, если имеется отверстие, как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту. Таким образом определяется главный признак сходства или отличия объектов.

Многообразие

Если объект или пространство разделить на множество составных частей – окрестностей, окружающих какую-то точку, – то их общность называют многообразием. Именно такое понятие содержит теорема Пуанкаре. Компактность означает конечное число элементов. Каждая отдельная окрестность подчиняется законам традиционной – эвклидовой – геометрии, но вместе они образуют нечто более сложное.

Самая адекватная аналогия этих категорий – поверхность земли. Изображение её поверхности представляет собой карты отдельных её районов, собранные в атлас. На глобусе эти изображения обретают форму шара, который относительно пространства Вселенной превращается в точку.

Трехмерная сфера

По определению, сфера – совокупность точек, которые равноудалены от центра – некой фиксированной точки. Одномерная сфера расположена в двухмерном пространстве в виде окружности на плоскости. Двухмерная сфера – поверхность шара, его «корочка» – совокупность точек в трехмерном пространстве и, соответственно, трехмерная сфера – суть теоремы Пуанкаре – поверхность четырехмерного шара. Вообразить такой объект очень трудно, но, говорят, мы – внутри такого геометрического тела.

Математики приводят ещё и такое описание трехмерной сферы: допустим, что к нашему привычному пространству, считаемому неограниченным и определяемому тремя координатами (X, Y, Z), добавлена точка (на бесконечности) таким образом, что в неё всегда можно попасть, двигаясь в любом направлении по прямой линии, т.е. любая прямая в этом пространстве становится окружностью. Говорят, что есть люди, которые могут это вообразить и спокойно ориентироваться в таком мире.

Для них обычное дело – трехмерный тор. Такой объект можно получить путем дважды повторенного совмещения в одну точку двух, расположенных на противоположных (например, правой и левой, верхней и нижней) гранях куба. Чтобы попытаться представить трехмерный тор с привычных нам позиций, следует провести абсолютно нереальный эксперимент: необходимо выбрать направления, взаимно перпендикулярные, – вверх, влево и вперед – и начать двигаться в любом из них по прямой. Через какое-то (конечное) время с противоположного направления мы вернемся в исходную точку.

Такое геометрическое тело имеет принципиальное значение, если хотеть понять, что такое теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана сводится к обоснованию существования в трехмерном пространстве лишь одного односвязного компактного многообразия – 3-сферы, другие, как 3-тор, неодносвязные.

Долгий путь к истине

Прошло более полувека, прежде чем появилось решение теоремы Пуанкаре для больших чем 3 размерностей. Стивен Смэйл (род. 1930), Джон Роберт Стэллингс (1935-2008), Эрик Кристофер Зиман (род. 1925) нашли решение для n, равного 5, 6 и равного или больше 7. Только в 1982 году Майкл Фридман (род. 1951) был удостоен высшей математической награды – Филдсовской премии – за доказательство теоремы Пуанкаре для более сложного случая: когда n=4.

Обыкновенный гений

Григорий Яковлевич родился 13 июня в Ленинграде, в интеллигентной семье. Отец – инженер-электрик – в начале 90-х уехал на ПМЖ в Израиль, мать преподавала математику в ПТУ. Кроме любви к хорошей музыке, она привила сыну увлечение решением задач и головоломок. В 9-м классе Григорий перевелся в физико-математическую школу № 239, но еще с 5-го класса он посещал математический центр при Дворце пионеров. Победы во всесоюзных и международных олимпиадах позволили поступить Перельману в Ленинградский университет без экзаменов.

Многие специалисты, особенно российские, отмечают что Григорий Яковлевич был подготовлен к невиданному взлету высоким классом ленинградской школы геометров, какую он прошел на мехмате Ленинградского госуниверситета и в аспирантуре при Математическом институте им. В.А. Стеклова. Став кандидатом наук, он стал работать в нем.

Читайте также:  Фото двигателя форд транзит

Верное направление

Григорий Яковлевич отмечает, что его всегда увлекали сложные проблемы, такие как теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман стал искать в направлении, вынесенном из беседы с профессором Колумбийского университета Ричардом Гамильтоном (род. 1943). Во время пребывания в США он специально ездил из другого города на лекции этого неординарного ученого. Перельман отмечает прекрасное доброжелательное отношение профессора к молодому математику из России. В их разговоре Гамильтон упомянул о потоках Риччи – системе дифференциальных уравнений – как способе решения теорем геометризации.

Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Простыми словами, Перельману удалось нейтрализовать образование таких зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу.

Потоки Риччи

Односвязное 3-мерное многообразие наделяется геометрией, вводятся метрические элементы с расстоянием и углами. Легче понять это на одномерных многообразиях. Гладкая замкнутая кривая на эвклидовой плоскости наделяется в каждой точке касательным вектором единичной длины. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, которая определяет кривизну. Где линия изогнута сильнее, кривизна больше. Кривизна положительна, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит наша линия, и отрицательна, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0.

Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Его направление внутрь при положительной кривизне и вовне – при отрицательной. Каждую точку заставляем двигаться в направлении и со скоростью, определяемыми соответствующим вектором. Замкнутая кривая, проведенная в любом месте плоскости, при такой эволюции превращается в окружность. Это справедливо для размерности 3, что и требовалось доказать.

Нет пророка…

Он взошел на свой Эверест, каким признается математиками теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман выложил в Интернет в виде трех небольших статей. Они немедленно вызвали ажиотаж, хотя русский математик не пошел положенной дорогой – публикация в специализированном журнале в сопровождении профессиональных рецензий. Григорий Яковлевич в течение месяца разъяснял в университетах США суть своего открытия, но число до конца понявших ход его мысли увеличивалось очень медленно.

Лишь через четыре года появилось заключение самых больших авторитетов: доказательства русского математика корректны, первая из проблем тысячелетия решена.

Эпоха соцсетей

Ему пришлось пережить ажиотаж и хамство в соцсетях, молчание тех, кого он уважал, и крики других, учивших его жизни. Энергичные китайцы сначала оценили его вклад в решение проблемы в 25 %, себе и другим насчитав 80! Потом вроде бы пришло мировое признание, но выдержать такое дано не каждому.

Что такое гипотеза Пуанкаре?

Гипотеза Пуанкаре — это доказанная математическая гипотеза, которая утверждает, что всякое замкнутое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Попробуем разобрать, что такое гипотеза Пуанкаре простыми словами.

Стоит отметить, сфера (т.е. поверхность шара) является двумерной, а шар — трехмерным.

Двумерная сфера включает в себя все точки трехмерного пространства, равноудаленные от некоторой точки, которую называют центром, однако она не принадлежит сфере. Трехмерная же сфера содержит в себе все точки четырехмерного пространства, также равноудаленные от центра, который сфере не принадлежит.

К примеру, воздушный шар легко и без разрывов деформируется в разные фигуры, однако, чтобы сделать из него бублик, нужно будет разрезать шар.

И наоборот, из бублика ну никак не получить цельную сферу. Однако, любая поверхность без разрывов гомеоморфна и может, деформируясь, переходить в шар (сферу). Мы можем опоясать шарик нитью, тогда нить завяжется в 1 узел (с бубликом такое невозможно). Таким образом, сфера (шар) – простейшая трехмерная модель, ее можно свернуть в точку, а также развернуть из точки обратно.

Интересно знать, что с двумерной сферой все было решено еще в XIX веке, а многомерные случаи были доказаны в 1980-х годах. Только трехмерность не была доказана. В 2002-2003 годах Григорий Перельман применил к трехмерным поверхностям уравнение «плавной эволюции» и таким образом сумел показать, что трехмерная поверхность (без разрывов) обязательно будет эволюционировать в трехмерную сферу. По словам ряда специалистов, это была идея «нового поколения», решение которой открывает новые горизонты для математической науки.

Читайте также:  Корейские аккумуляторы для автомобиля рейтинг

Что такое гипотеза Пуанкаре?

Представленная в 1887 году Анри Пуанкаре гипотеза практически сразу же после появления взволновала общественность. «Всякое замкнутое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей» – именно так звучит данная гипотеза.

Над нею безуспешно ломали голову ученые – геометры и физики со всего мира. Так продолжалось около 100 лет. Раскрытие секрета утверждения в 2006 году стало настоящей сенсацией. И самое главное – доказательство теоремы было представлено российским математиком Григорием Перельманом.

Вопросы, связанные со сферой двумерного вида, были понятны в девятнадцатом веке. Положения многомерных объектов определены в 1980-х годах. Сложности создавало только определение трехмерных объектов. В 2002 году российским ученым для доказательства было использовано уравнение «плавной эволюции». Благодаря этому ему удалось определить способность трехмерных поверхностей, не имеющих разрывов, деформироваться в трехмерные сферы. Определение, представленное Перельманом, вызвало интерес множества ученых, которые подтвердили, что это решение современного поколения, открывающая перед наукой новые горизонты, обеспечивающая широкие возможности для дальнейших открытий.

Представленная российским ученым теория имела множество недочетов, требовала ряда доработок. В связи с этим ученые взялись за поиски доказательств объяснения. Некоторые из них потратили на это всю свою жизнь.

Гипотеза Пуанкаре простым языком

Вкратце теорию можно расшифровать в нескольких предложениях. Вообразите, немного спущенный воздушный шарик. Согласитесь, это совсем не сложно. Ему очень легко придать необходимую форму – куба или овальной сферы, человека или животного. Доступное разнообразие форм просто впечатляет. При этом существует форма, являющаяся универсальной, – шар. При этом формой, которую невозможно придать шарику, не прибегая к разрывам, является бублик – форма с дыркой. Согласно определению, даваемому гипотезой, предметы, в форме которые не предусмотрено отверстие сквозного типа, отличаются одинаковой основой. Наглядный пример – шар.

При этом тела с отверстиями, на в математике им дано определение – тор, отличаются свойством совместимости друг с другом, но при этом не со сплошными объектами. Например, если мы захотим, то без проблем сможем вылепить из пластилина зайца или кошку, потом превратить фигурку в шар, затем – в собаку или яблоко. При этом можно обойтись без разрывов. В том случае, если изначально был вылеплен бублик, то из него может получиться кружка либо «восьмерка», придать массе форму шара уже не удастся. Представленные примеры наглядно показывают несовместимость сферы и тора.

Гипотеза Пуанкаре применение

Понимание значения гипотезы Пуанкаре наряду с определением открытия, сделанного Григорием Перельманом, позволит намного быстрее разобраться с данным утверждением. Гипотеза может быть использована ко всем материальным объектам нашей Вселенной. При этом вполне допустимо ее верность и применимость положений и непосредственно ко Вселенной. Можно предположить, что началом появления материи послужила незначительная точка одномерного типа, которая прямо сейчас формируется в многомерную сферу. Соответственно возникает множество вопросов – возможно ли найти границы, выявить единый механизм свертывания объекта к первоначальному состоянию и т. д.

Российским ученым было математически доказано, что если поверхность односвязна, не является бубликом, то в результате деформации, обеспечивающей полное сохранение характеристик исследуемой поверхности, можно легко и просто получить арбуз или, проще говоря, сферу. Это может быть любой круглый предмет, который без каких-либо трудностей может быть стянут в точку. Обернув сферу можно при помощи обычного шнурка. В последствии шнур можно связать в узелок. Проделать тоже самое с бубликом не получится.

Самая простая модель, представляющая шар, может быть свёрнута в виде точки. Если Вселенная – это шар, то значит, что она также может быть свернута в одну точку, а после развернута снова. Таким образом Перельман показывает своё умение теоретического управления Вселенной.

Комментировать
3 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Без рубрики
0 комментариев
No Image Без рубрики
0 комментариев
Adblock detector